Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得函數(shù)f（x）在區(qū)間M上值域也為M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”
①若區(qū)間[1，b]是函數(shù)g（x）=

1

2

x²-x+

3

2

的一個“穩(wěn)定區(qū)間”，求常數(shù)b的值；
②問是否存在常數(shù)a，b（b＞a＞0），使區(qū)間[a，b]是函數(shù)h（x）=1nx的一個“穩(wěn)定區(qū)間”？若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①利用定義，對函數(shù)g（x）配方，利用[1，g（b）]=[1，b]，即可求常數(shù)b的值；
②通過構(gòu)造函數(shù)F（x）=lnx-x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，說明方程在（0，+∞）上無實數(shù)根，
然后說明不存在在條件的a，b即可．

解答：解：①由g(x)=

1

2

(x-1)2+1
知g（x）在[1，b]，且g（1）=1．
∴[1，g（b）]=[1，b]
⇒g（b）=b⇒b=3
②∵函數(shù)h（x）=1nx在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴a=lna，b=lnb是關(guān)于x的方程x=lnx在（0，+∞）上有兩個不相等的根．
設(shè)F（x）=lnx-x，則F′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
由F′（x）=0得，x=1，
∴F（x）=lnx-x，z在（0，1）為增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
又F（1）=-1＜0，方程x=lnx在（0，+∞）上無實數(shù)根，
∴不存在常數(shù)a，b（b＞a＞0），滿足條件．

點評：本題考查新定義的理解，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的零點問題，考查分析問題解決問題的能力．