Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函數(shù)，且f（1）=f（4）
（Ⅰ）求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即

x2-ax+b

-x

=-

x2+ax+b

x

，
即-ax=ax，解得a=0，
此時f（x）=

x2+b

x

=x+

b

x

，
∵f（1）=f（4）
∴1+b=4+

b

4

，
即

3b

4

=3，解得b=4．
故實數(shù)a=0，b=4；
（Ⅱ）∵a=0，b=4，∴f（x）=x+

4

x

，
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
①若0＜x₁＜x₂≤2，則x₁x₂＜4，則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此時函數(shù)單調(diào)遞減．
②若2＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞4，則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此時函數(shù)單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．