Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x
（1）試求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．
（2）求證：函數(shù)f（x）=x³-3x在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接求解方程x³-3x=0的根得函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上的符號(hào)得答案．

解答： （1）解：由x³-3x=0，解得x₁=0，x2=-

3

，x₃=

3

．
∴函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)是0，-

3

，

3

；
（2）證明：∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x²-1），
∵x＞1，
∴f′=3x²-3=3（x²-1）＞0，
∴f（x）=x³-3x在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．