Question

已知過點(diǎn)A（-2，-4）且斜率為1的直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于B，C兩點(diǎn)，若AB、BC、CA的絕對(duì)值成等比數(shù)列，求拋物線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：題意，直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，設(shè)A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．可得根與系數(shù)，由于|AB|=t₁，|AC|=t₂，|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

及AB、BC、CA的絕對(duì)值成等比數(shù)列，即可得出．

解答： 解：由題意，直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
代入拋物線方程y²=2px（p＞0）可得：t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，
設(shè)B，C的參數(shù)分別為t₁，t₂．
則t₁+t₂=2

2

p+8

2

，t₁t₂=32+8p．
∴|AB|=t₁，|AC|=t₂．
|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

．
∵|AB|，|BC|，|CA|成等比數(shù)列，
∴4（2p²+8p）=t₁t₂=32+8p，
化為p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．
∴拋物線的方程為：y²=2x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線的參數(shù)方程、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．