Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>0時(shí),證明不等式:<ln(x+1)<x;
(3)設(shè)f(x)的最小值為g(a),證明不等式:-1<ag(a)<0

Answer 1

(1) f(x)在(-1,)為減，在（，+）為增
(2)將所證明的不等式利用構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)的思想求解最值，來(lái)證明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一問的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析得到a的表達(dá)式，利用構(gòu)造函數(shù)來(lái)求證。

試題分析：解：（1）f’(x)=(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,)為減，在（，+）為增 f (x)_min=f()=1-(a+1)ln(+1)
（2）設(shè)F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=F(x)在（0，+）為增函數(shù)
F(x)>F(0)="0" F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1-   G(x)在（0，+）為增函數(shù)
G(x)>G(0)="0"  G(x)>0即ln(x+1)<x
經(jīng)上可知
（3）由（1）知：





點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，頻率最多的試題就是考查函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式。那么對(duì)于后者的求解，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的最值來(lái)得到證明。