Question

已知x、y∈R,且滿足求:

(1)t=x²+y²+2x-2y+2的最小值;

(2)t=|x+2y-4|的最大值;

(3)t=的范圍.

Answer 1

解:在xOy坐標(biāo)系內(nèi)作出點(diǎn)(x,y)的平面區(qū)域如下圖陰影部分.

(1)∵t=()²,

∴t可看成是平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M(-1,1)的距離的平方.

∵直線x+y-4=0和直線x-y+2=0垂直,

∴t的最小值即為M點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離的平方,

    即t_min=()²=8.

(2)∵t=|x+2y-4|=·,

∴t可看成是平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到直線x+2y-4=0的距離的倍.

    由圖知,C點(diǎn)到直線x+2y-4=0的距離最大.

    由得C(7,9).

∴t_max=·=21.

(3)∵t==2×,

∴t可看成是平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)N(-1,-)連線的斜率的兩倍.

    由得A(1,3).

    由得B(3,1).

∵k_NA==,k_NB==,∴t∈［,］.