Question

已知定義在[1，8]上的函數f(x)=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，2＜x≤8

，該函數的值域是

[0，4]

．

Answer 1

分析：對于分段函數可先分段考慮：當1≤x≤2時，利用絕對值函數畫出其圖象，當2＜x≤4時，1＜

x

2

≤2，此時f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

（4-8|

x

2

-

3

2

|），當4＜x≤8時，1＜

x

4

≤2，此時f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

×

1

2

×f（

x

4

）=

1

4

（4-8|

x

4

-

3

2

|），分別在坐標系中畫出f（x）在（4，8]上的圖象，最后觀察圖象得出該函數的值域．

解答：解：當1≤x≤2時，
f（x）=4-8|x-

3

2

|=

4-8(x- 3 2 )， 3 2 ＜x≤2 4+8(x- 3 2 )，1≤x≤ 3 2

，
在坐標系中畫出f（x）在[1，2]上的圖象，如圖中所示．
當2＜x≤4時，1＜

x

2

≤2，此時
f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

（4-8|

x

2

-

3

2

|），同樣在坐標系中畫出f（x）在（2，4]上的圖象，如圖中所示．
當4＜x≤8時，1＜

x

4

≤2，此時
f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

1

2

×

1

2

×f（

x

4

）=

1

4

（4-8|

x

4

-

3

2

|），同樣在坐標系中畫出f（x）在（4，8]上的圖象，如圖中所示．
觀察圖象可知，該函數的值域是[0，4]．
故答案為：[0，4]．

點評：本小題主要考查分段函數的應用、函數的值域等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．