Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并給予證明；

（Ⅱ）若有兩個極值點(diǎn)，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）時(shí)，于是可利用導(dǎo)數(shù)的符號解決函數(shù)的單調(diào)性問題；（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032506065276033228/SYS201503250607024950152254_DA/SYS201503250607024950152254_DA.003.png">有兩個極值點(diǎn)，所以其導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032506065276033228/SYS201503250607024950152254_DA/SYS201503250607024950152254_DA.005.png">的導(dǎo)數(shù)為，可結(jié)合的性質(zhì)確定的取值范圍，寫出函數(shù)在處所取極值的表達(dá)式及定義域，同樣利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而證明不等式.

試題解析：（Ⅰ）時(shí)，易知

從而為單調(diào)減函數(shù)． ４分

（Ⅱ）有兩個極值點(diǎn)，

即有兩個實(shí)根，所以

，得．

，得． 6分

又，

所以 8分

，得

10分

令

，

12分

另【解析】
由兩個實(shí)根，，

當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且，不能滿足條件．

當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減且

當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增且，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)②，所以由兩個實(shí)根需要．即

即，，從而可以構(gòu)造函數(shù)解決不等式的證明．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值等問題.