Question

7．已知拋物線Γ：y=x²及拋物線Γ上的一點(diǎn)A（2，4）．
（1）求拋物線Γ在點(diǎn)A處的切線l的方程；
（2）求拋物線Γ及切線l與x軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，從而可得該拋物線在點(diǎn)A處的切線l的方程；
（2）利用定積分可求曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積．

解答 解：（1）k_切=y'|_x=2=2x|_x=2=4，…（2分）
切點(diǎn)A（2，4），所以切線l的方程為y-4=4（x-2）
即y=4x-4…（4分）
（2）令y=0，則x=1，所以切線與x軸的交點(diǎn)為B（1，0）…（5分）
所以$S=\int_0^1{x^2}dx+\int_1^2{（{x^2}}-4x+4）dx$…（7分）
=$\left.{\frac{1}{3}{x^3}}\right|_0^1+（\left.{\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+4x）}\right|_1^2$…（8分）
=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及定積分的計(jì)算，屬于中檔題．