如圖,平面α上定點(diǎn)F到定直線l的距離FA=2,曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.設(shè)FB⊥α,且FB=2.
(1)若曲線C上存在點(diǎn)P0,使得P0B⊥AB,試求直線P0B與平面α所成角θ的大小;
(2)對(1)中P0,求點(diǎn)F到平面ABP0的距離h.
(1)(解法一)如圖,以線段FA的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意,曲線C是平面α上以原點(diǎn)O為頂點(diǎn),由于在xOy平面內(nèi),CF(2,0,0)
是以O(shè)為頂點(diǎn),以x軸為對稱軸的拋物線,其方程為y2=4x,
因此,可設(shè)P(
y2
4
,y,0)
A(-1,0,0),B(1,0,2),所以,
AB
=(2,0,2)
PB
=(1-
y2
4
,-y,2)

由P0B⊥AB,得2(1-
y2
4
)+4=0⇒y=2
3
,⇒P(3,2
3
,0)

所以,直線P0B與平面α所成角的大小為arctan
1
2
(或arcsin
3
3
).
(解法二)如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)O,以線段FA所在的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
所以,A(0,0,0),B(2,0,2),F(xiàn)(2,0,0),并設(shè)P(x,y,0),
由題意,
PB2+AB2=AP2
PF=PE.

(x-2)2+y2+4+8=x2+y2
(x-2)2+y2=x2.
⇒P(3,2
3
,0)

所以,直線P0B與平面α所成角的大小為arctan
1
2
(或arcsin
3
3
).
(2)(解法一)由(1),得△ABP的面積為S△ABP=2
10
,△AFP的面積為S△AFP=2
3

所以,
1
3
×2
10
h=
1
3
×2
3
×2

解得,h=
30
5

(解法二)
AB
=(2,0,2)
,
AP
=(4,2
3
,0)
,設(shè)向量
n
=(x,y,z)

2x+2z=0
4x+2
3
y=0

所以,平面ABP0的一個(gè)法向量
n0
=(3,-2
3
,-3)
,∴h=
|
AF
n0
|
|
n0
|
=
30
5

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,側(cè)棱與底面垂直,底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,側(cè)棱與底面邊長均為2,則面AB1C與底面A1B1C1D1,ABCD所成角的正弦值為( 。
A.
1
2
B.2C.
5
5
D.
2
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B和平面ABCD所成角是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構(gòu)成的集合是( 。
A.{t|
2
5
5
≤t≤2
3
}
B.{t|
2
5
5
≤t≤2}
C.{t|2≤t≤2
3
}
D.{t|2≤t≤2
2
}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體ABCD-A′B′C′D′中,直線BC′與平面A′BD所成的角的余弦值等于( 。
A.
2
4
B.
3
3
C.
2
3
D.
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,點(diǎn)M、N分別在棱PD、PC的中點(diǎn).
(1)求證:PD⊥平面AMN;
(2)求三棱錐P-AMN的體積;
(3)求二面角P-AN-M的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是A1B1,CD的中點(diǎn).
(1)求二面角E-AF-B的大;&nb5p;
(2)求點(diǎn)B到面AEF的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥PD;
(2)求直線PF與平面PBD所成的角的大小;
(3)求二面角E-PF-B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,棱長為4,E為面A1D1DA的中心,
CF=3FC1,AH=3HD,
(1)求異面直線EB1與HF之間的距離
(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案