Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）已知點(diǎn)在橢圓C上，點(diǎn)A、B是橢圓C上不同于P、Q的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足： 。試問：直線AB的斜率是否為定值？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：對于（1），結(jié)合已知即可求出b2與a2，問題便可解答；

對于（2），當(dāng)時(shí)，PA，PB的斜率之和為0.設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，接下來求出直線PA與PB的方程，然后將其與橢圓分別聯(lián)立，即可求出,然后利用斜率的計(jì)算公式不難求出k的值，問題便可解答.

試題解析：

（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），

∵橢圓離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．

焦點(diǎn)為(0,2)，

∴b=2…（1分）e==，a2﹣b2=c2，

∴解得a2=16，b2=12

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）直線 x=﹣2與橢圓交點(diǎn)P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，設(shè)A （x1，y1 ），B（ x2，y2），

當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)直線PA，PB斜率之和為0．

設(shè)PA斜率為k，則PB斜率為﹣k．

當(dāng)P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）時(shí)，

PA的直線方程為y﹣3=k（x+2）

與橢圓聯(lián)立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0

∴=;

同理

∴

, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=

直線AB斜率為