Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)M（-3，-1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)M（-3，-1），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）將直線x-y-2=0代入$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，得，x²-3x=0．求出點(diǎn)A（0，-2），B（3，1），從而|AB|=3$\sqrt{2}$，在橢圓C上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，則點(diǎn)P到直線l的距離最大．設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線方程為y=x+b．將y=x+b代入$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，得4x²+6bx+3（b²-4）=0，由根的判別式求出點(diǎn)P（-3，1）時(shí)，△PAB的面積最大，由此能求出△PAB的最大面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)M（-3，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=12，b²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（Ⅱ）將直線x-y-2=0代入$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，消去y得，x²-3x=0．
解得x=0或x=3．…（5分）
∴點(diǎn)A（0，-2），B（3，1），∴|AB|=$\sqrt{（3-0）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$． …（6分）
在橢圓C上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，則點(diǎn)P到直線l的距離最大．
設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線方程為y=x+b．…（7分）
將y=x+b代入$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，整理得4x²+6bx+3（b²-4）=0．…（8分）
令△=（6b）²-4×4×3（b²-4）=0，解得b=±4． …（9分）
將b=±4代入方程4x²+6bx+3（b²-4）=0，解得x=±3．
由題意知當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，1）時(shí)，△PAB的面積最大． …（10分）
且點(diǎn)P（-3，1）到直線l的距離為d=$\frac{|-3-1-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$．  …（11分）
△PAB的最大面積為S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=9． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形最大面積的求法，考查橢圓、直線方程、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．