Question

已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，平行四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在棱AB、BC、CP、PA上，則

1

EF

+

1

FG

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：分別設(shè)EF=x，F(xiàn)G=y，BF=a，F(xiàn)C=b，由AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC可建立模型

1

EF

+

1

FG

 =

a+b

a

+

a+b

2b

=

1+b

a

+

a

2b

+

1

2

=

3

2

+

b

a

+

a

2b

，再用基本不等式法求得最小值．

解答：解：設(shè)EF=x，F(xiàn)G=y，BF=a，F(xiàn)C=b
∵AC：EF=BC：BF，BP：FG=BC：FC
即1：EF=（a+b）：a，2：FG=（a+b）：b或1：FG=（a+b）：2b

1

EF

+

1

FG

 =

a+b

a

+

a+b

2b

=

1+b

a

+

a

2b

+

1

2

=

3

2

+

b

a

+

a

2b

≥≥

3

2

+2

b a • a 2b

=

3

2

+

2

∴

1

EF

+

1

FG

的最小值為

3

2

+

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查四面體中各點(diǎn)線面的位置關(guān)系，同時(shí)，還考查了建立模型和解決模型的能力，屬中檔題．