Question

若橢圓（a＞b＞1）內有圓x²+y²=1，該圓的切線與橢圓交于A，B兩點，且滿足（其中O為坐標原點），則9a²+16b²的最小值是________．

Answer 1

49
分析：設切線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合，可得a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0，利用y=kx+m是單位圓的切線，可得m²=k²+1，從而可得a²+b²=a²b²，可得a²＞2，b²==1+，由此可求9a²+16b²的最小值．
解答：設切線方程為y=kx+m，代入橢圓方程得關于x的一元二次方程（b²+a²k²）x²-2a²kmx+a²m²-a²b²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（k²+1）a²（m²-b²）-2k²m²a²+m2（a²k²+b²）=0
∴a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0（*）
因為y=kx+m是單位圓的切線，所以，即m²=k²+1
代入（*）式子，得到a²（1-b²）m²+m²b²=0，所以a²+b²=a²b²
由于a＞b，所以a²b²=a²+b²＞2b²，∴a²＞2
∵b²==1+
代入得9a²+16b²=9a²++16=9（a²-1）++25≥49
當且僅當a²-1=時取到最小值
故答案為：49
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查圓的切線，考查韋達定理的運用，考查基本不等式求最值，利用韋達定理是關鍵．