Question

若函數(shù)f（x）=x+

a

x

定義域?yàn)椋?，2]，a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)y=f（x）在x∈（0，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）a=1時(shí)，f（x）=x+

1

x

，用定義可以證明f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增；
（2）由f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，可任取x₁，x₂∈（0，2]，x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，即x₁x₂-a＜0，得a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)y=f（x）在x∈（0，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的值域．

解答：解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x+

1

x

，任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）

(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
同理，任取x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）

(x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
（2）∵函數(shù)y=f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，
∴任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

＞0恒成立，
∴0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0恒成立，x₁x₂-a＜0，
即a≥4；∴a的取值范圍{a|a≥4}；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
①當(dāng)a≥4時(shí)，由（2）知，y=f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，
∴f(x)≥f(2)=2+

a

2

，即值域?yàn)?span id="jiqzog1" class="MathJye">[2+

a

2

，+∞)；
②當(dāng)0＜a＜4時(shí)，x1，x2∈(0，

a

]，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，x1，x2∈(

a

，2]，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
得f(x)在(0，

a

]單減，在[

a

，2]單增，
∴f(x)≥f(

a

)=2

a

，即值域?yàn)?span id="jollym4" class="MathJye">[2

a

，+∞)；
③a=0時(shí)，值域?yàn)椋?，2]；
④a＜0時(shí)，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
y=f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，值域?yàn)?span id="dxe5fdl" class="MathJye">(-∞，2+

a

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判定方法以及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域問題，是易錯(cuò)題．