Question

【題目】已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式滿足.①證明：對所有正整數(shù)，至少有五個不同的質(zhì)因數(shù).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

式①等價于

. ②

在式②中分別令，，，.

則.

再在式②中令.則.

故、、0、1及是的根.則

， ③

其中，為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.

由式③得. ④

將式③、④代入式②得.

設(shè).則.

考慮兩邊次項(xiàng)系數(shù)知.

所以，為常數(shù).

故，其中，常數(shù).

首先證明：至少有四個不同的質(zhì)因數(shù).

否則，至多有三個不同的質(zhì)因數(shù)2、3、.但、、、兩兩之間的最大公因數(shù)為1、2、3，其中兩個奇數(shù)互質(zhì)，則為、.從而，兩個偶數(shù)為、.故.解得.

因此，這兩個偶數(shù)為8、6或16、18.前者不符，后者得到另兩個奇數(shù)為15、17或17、19，均導(dǎo)致矛盾.

其次，假設(shè)存在某個正整數(shù)，使得的每個質(zhì)因數(shù)都是的質(zhì)因數(shù)，且恰有四個質(zhì)因數(shù)，否則，結(jié)論成立.

顯然，.

由,知或3，或7.故.

但9|不能，故，則.

由假設(shè)知、、、的質(zhì)因數(shù)為2、3、7、.則.

考慮其中兩個偶數(shù)、兩個奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)集合、.顯然，，，.

故或且.

若或，則兩個偶數(shù)為、或、，得或.

故這兩個偶數(shù)為16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使有質(zhì)因數(shù)2、3、5、7及13(或17），矛盾.

若，則為奇數(shù)，為偶數(shù).

由.

故，，且 .

從而，.

于是，.則，矛盾.

若，則，且為偶數(shù)，.

故.

從而，，， .

于是，，矛盾.

若，則，且為奇數(shù)，.故.

但，則的奇質(zhì)因數(shù)不是3、7，矛盾.