Question

9．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2a=$\sqrt{3}$csinA-acosC．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合C的范圍，可得C的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，進(jìn)而利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2a=$\sqrt{3}$csinA-acosC，
∴由正弦定理可得：2sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC，…2分
∵sinA≠0，
∴可得：2=$\sqrt{3}$sinC-cosC，解得：sin（C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），可得：C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{2π}{3}$．…6分
（2）∵由（1）可得：cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b²+a²+ab≥3ab，即：ab≤1，（當(dāng)且僅當(dāng)b=a時取等號）…8分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．