如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為．

（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時(shí)，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）對(duì)任意，求證：．

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求出點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個(gè)基本處理方法是設(shè)而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時(shí)需要考慮轉(zhuǎn)化.
思路二:設(shè),然后用表示出的坐標(biāo).這種方法要注意直線的方程應(yīng)設(shè)為: ,若用點(diǎn)斜式,則運(yùn)算量大為增加.
此類題極易在運(yùn)算上出錯(cuò),需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知: ,所以線段的中點(diǎn)為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點(diǎn),又直線過坐標(biāo)原點(diǎn),
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點(diǎn)到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設(shè),則
由題意得:
設(shè)直線的斜率分別為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9a/0/1njls3.png" style="vertical-align:middle;" />在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達(dá)定理得:
所以
,所以
考點(diǎn)：本題考查橢圓的方程、直線的方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離，兩直線垂直的判定；考查韋達(dá)定理.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別與直線：相交于兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

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已知是橢圓的右焦點(diǎn)，圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且 
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，且的面積為，求橢圓的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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已知橢圓（）右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，短軸長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，若線段的長為，求直線的方程．

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已知點(diǎn)是橢圓：上一點(diǎn)，分別為的左右焦點(diǎn)，，的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，過點(diǎn)作直線，交橢圓異于的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)，是軸上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸的垂線，與曲線分別交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)，這樣就稱確定了．同樣，可由確定了．現(xiàn)已知，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

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