Question

某工程要挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖）.PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°，試說明怎樣運土才能最省工？

Answer 1

解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)M是分界線上的點，則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有

|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.

這說明這條分界線是以A、B為焦點的雙曲線的右支.

在△APB中，由余弦定理，得

|AB|²=|AP|²+|PB|²-2|AP|·|PB|·cos60°=17 500,

從而a=25,c²==4 375，b²=c²-a²=3 750.

所以所求分界線方程為=1(x≥25).

于是運土時，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P點，右側(cè)的土沿BP運到P點最省工.