Question

證明：對?n∈N^*，eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=e^x-

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x²-x-1；對函數(shù)二階求導(dǎo)從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明．

解答： 證明：令f（x）=e^x-

1

2

x²-x-1；
f′（x）=e^x-x-1，
f″（x）=e^x-1，
故當(dāng)x＞0時，f″（x）＞0，
即f′（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
故當(dāng)x＞0時，f′（x）＞f′（0）=0，
即f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
又∵f（1）=e-

1

2

-2＞0；
故eⁿ＞

1

2

n²+n+1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．