Question

（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且對任意非負整數(shù)均有：

．

（1）求；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項；

（3）令，求證：

 

Answer 1

（1），；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意恰當?shù)倪M行賦值，求數(shù)列中某些項的值；（2）證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項法，證明，看是否從第一箱開始，若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可；（3）觀測數(shù)列的特點形式，看使用什么方法求和．使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源和目的．（4）在做題時注意觀察式子特點選擇有關公式和性質進行化簡，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方法，如分組轉化求和，裂項法，錯位相減．

試題解析：【解析】
（1）令得， 1分

令，得，∴ 2分

（2）令，得：

∴，又，

∴數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．∴

∴

∴ 8分

（3）∴

∴ 12分

考點：1、證明某數(shù)列等差數(shù)列；2、裂項求和．