Question

6．某種放射性元素的原子數(shù)N隨時(shí)間t的變化規(guī)律是N=N₀e^-λt，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，N₀，λ是正的常數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4時(shí)，求lnN的值
（Ⅱ）把t表示原子數(shù)N的函數(shù)；并求當(dāng)N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$時(shí)，t的值（結(jié)果保留整數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）把N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4代人公式求出lnN的值；
（Ⅱ）根據(jù)公式求出t的解析式，再計(jì)算N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$時(shí)t的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)N₀=e³，λ=$\frac{1}{2}$，t=4時(shí)，
N=N₀•e^-λt=e³•e^-2=e，
∴l(xiāng)nN=lne=1；
（Ⅱ）∵N=N₀•e^-λt，
∴$\frac{N}{{N}_{0}}$=e^-λt，
∴-λt=ln$\frac{N}{{N}_{0}}$，
∴t=-$\frac{1}{λ}$ln$\frac{N}{{N}_{0}}$（或$\frac{1}{λ}$ln$\frac{{N}_{0}}{N}$），其中0＜N≤N₀；
當(dāng)N=$\frac{{N}_{0}}{2}$，λ=$\frac{1}{10}$時(shí)，
t=-10ln$\frac{1}{2}$=10ln2=10×$\frac{lg2}{lge}$=10×$\frac{0.3010}{0.4344}$≈7．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．