Question

14．若函數(shù)f（x）=lg（kx²+3x+2k）
（1）若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閧x|1＜x＜2}，求實(shí)數(shù)k的值
（2）若k＞0，求函數(shù)y=f（x）的定義域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出不等式kx²+3x+2k＞0的解集為{x|1＜x＜2}，由一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系即可求出k的值；
（2）根據(jù)題意，求k＞0時(shí)不等式kx²+3x+2k＞0的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（kx²+3x+2k），
∴kx²+3x+2k＞0，
又函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閧x|1＜x＜2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-（1+2）=\frac{3}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-1；
（2）根據(jù)題意，k＞0時(shí)，不等式kx²+3x+2k＞0，
令△=9-8k²=0，解得k=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
∴當(dāng)0＜k＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，△＞0，不等式的解集為{x|x＜$\frac{-3-\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$或x＞$\frac{-3+\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$}；
當(dāng)k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，△=0，不等式的解集為{x|x≠-$\frac{3}{2k}$}；
當(dāng)k＞$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，△＜0，不等式的解集為R；
綜上，0＜k＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜$\frac{-3-\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$或x＞$\frac{-3+\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$}；
k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠-$\frac{3}{2k}$}；
k＞$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，含有字母系數(shù)的一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化法與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．