Question

【題目】已知函數(shù)；

（1）若，求證： 在上單調遞增；

（2）若，試討論零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當時， 沒有零點； 時， 有一個零點； 時， 有兩個零點.

【解析】試題分析：（1）時， ， ，要證在上單調遞增，只要證： 對恒成立，只需證明（當且僅當時取等號）． （當且僅當時取等號），即可證明；

（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)的關系，分 討論，即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)．

試題解析：（1）時， ， ，

要證在上單調遞增，只要證： 對恒成立，

令，則，當時， ，

當時， ，故在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即（當且僅當時等號成立），

令，則，

當時， ，當時， ，故在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增，所以，即（當且僅當時取等號），

（當且僅當時等號成立）

在上單調遞增.

（2）由有，顯然是增函數(shù)，

令，得， ， ，

則時， ， 時， ，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴有極小值， ，

①當時， ， ， 有一個零點1；

②時， ， ， 沒有零點；

③當時， ， ，又，

又對于函數(shù)， 時，

∴當時， ，即，

∴ ，

令，則，

∵，∴，∴，∴，

又， ，∴有兩個零點，

綜上，當時， 沒有零點； 時， 有一個零點； 時， 有兩個零點.