Question

已知函數(shù)f（e^x）=x²-2x+3（2≤x≤3），
（1）求f（x）的表達(dá)式及定義域；
（2）求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令e^x=t，則t∈[e²，e³]，且f（t）=（lnt）²-2lnt+3，由此求得f（x）的解析式以及它的定義域．
（2）再令m=lnt，則m∈[2，3]，f（x）=g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，顯然g（m）在區(qū)間[2 3]上是增函數(shù)，從而求得它的最值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（e^x）=x²-2x+3（2≤x≤3），令e^x=t，則t∈[e²，e³]，且f（t）=（lnt）²-2lnt+3，
故有f（x）=（lnx）²-2lnx+3，定義域?yàn)閇e²，e³]．
（2）再令m=lnt，則m∈[2，3]，f（x）=g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，顯然g（m）在區(qū)間[2 3]上是增函數(shù)，
故當(dāng)m=2時，g（t）取得最小值為3；
當(dāng)m=3時，g（t）取得最大值為6．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．