Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn).若點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先明確函數(shù)定義域，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)， ，因此減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)， 遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即不等式恒成立，而不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題：： 的最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，為單調(diào)遞減，再利用洛必達(dá)法則得，因此，也可直接構(gòu)造差函數(shù)，分類(lèi)討論最值進(jìn)行求解

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)， .……………………1分

所以，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .………………3分

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.……………………4分

（2）因?yàn)?/span>，所以處切線(xiàn)的斜率，

所以切線(xiàn)的方程為，

令得， .………………………………5分

當(dāng)時(shí)，要使得點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1，

只需，即.…………………………6分

令，則.………………………………7分

因?yàn)?/span>，所以，

①若，即時(shí)， ，

所以，當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，所以滿(mǎn)足題意.………………………………8分

②若即時(shí)， ，

所以，當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減，

所以，所以不滿(mǎn)足題意.…………………………9分

③若，即時(shí)， ，

則、、的關(guān)系如下表：

		0
	遞減	極小值	遞增

所以，所以不滿(mǎn)足題意，

結(jié)合①②③，可得，當(dāng)時(shí)， 時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒小于1.………………12分