Question

【題目】設(shè)函數(shù)，().

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)am的值；

（2）關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論；

（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，證明見解析. （3）

【解析】

（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于斜率，過點(diǎn)計(jì)算得到答案.

（2）討論，得到在至多1個(gè)實(shí)根，得到答案.

（3）不等式等價(jià)于，令，則，根據(jù)單調(diào)性得到答案.

（1），則，故，，

解得，.

（2）不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，證明如下：

令，

如果有三個(gè)不同的實(shí)根，則至少要有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，

則至少兩個(gè)不等實(shí)根，所以只要證明在至多1個(gè)實(shí)根，

，，

1°當(dāng)時(shí)，，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴在至多1個(gè)實(shí)根；

2°當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，

∴，又因?yàn)?/span>時(shí)，∴，

∴在沒有實(shí)根

綜合1°2°可知，在至多1個(gè)實(shí)根，所以得證.

（3）∵對(duì)任意恒成立，且，

∴對(duì)任意恒成立，

∴對(duì)任意恒成立，

令，

則對(duì)任意恒成立，

∵時(shí)，且，，

∴在單調(diào)遞增∴在恒成立，

∴.