Question

【題目】已知函數(shù).

（I）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

（i）求證：此零點(diǎn)是的極值點(diǎn)；

（ⅱ）求證：.

（本題可能會(huì)用到的數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（I）見解析；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)分類討論,即可得單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）（i）先求得反函數(shù),代入即可求得的解析式.求得,根據(jù)僅有一個(gè)零點(diǎn),可知在單調(diào)遞增,通過檢驗(yàn)與函數(shù)值的符號(hào),可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間為.通過判斷時(shí),時(shí),,即可知極小值點(diǎn)為.

（ⅱ）根據(jù)（i）由可解得.構(gòu)造函數(shù)通過檢驗(yàn)與可知,通過分析在單調(diào)遞增,可知當(dāng)時(shí), 成立,即證明.

（I）

時(shí),恒成立

所以在單調(diào)遞增,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

時(shí),解不等式可得：,

所以此時(shí)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

綜上：時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

時(shí),在單調(diào)遞增,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.

（Ⅱ）（i）

則

函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

在單調(diào)遞增

又因?yàn)?/span>

且

,使得

且時(shí),時(shí),

在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),所以此零點(diǎn)為極小值點(diǎn)

（ii）由（i）得,即,

解得,且.

設(shè)

,則在單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>

.

又在單調(diào)遞增,

,