Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且成等差數(shù)列.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)(不與原點(diǎn)重合)，是否存在軸上一定點(diǎn)，使得_________.若存在，求出定點(diǎn)，若不存在，說明理由.從“①作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則三點(diǎn)共線；②”這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答(注:如果選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

Answer 1

【答案】（1）；（2）兩種選擇都存在 滿足條件.

【解析】

（1）設(shè)，，，由已知得關(guān)于，的關(guān)系式，整理即可求得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)選①時(shí)，設(shè)，與聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，橫坐標(biāo)的和與積，寫出直線的方程，由直線系方程可得，直線過定點(diǎn)，說明結(jié)論成立；

當(dāng)選②時(shí)，假設(shè)存在滿足條件②，設(shè)，與聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，橫坐標(biāo)的和與積，由求得，說明存在滿足條件．

解：（1）設(shè)，，，

則，，

由2，，成等差數(shù)列，得，即，

即，化簡得，

點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）當(dāng)選①時(shí)，設(shè)，與聯(lián)立，得，

設(shè)，，，，則，，

，，

，

，化簡得，

存在滿足條件．

當(dāng)選②時(shí)，假設(shè)存在滿足條件②，

設(shè)，與聯(lián)立，得，

設(shè)，，，，則，，

，，

，

，即，

存在滿足條件．