Question

中心是原點(diǎn)O，它的虛軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，且OF＝3OA．過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)求雙曲線的方程及離心率；

(2)若＝0，求直線PQ的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，設(shè)曲線的方程為＝1(a＞0，b＞0) 　　由已知解得a＝，c＝3，所以雙曲線的方程這＝1，離心率e＝； 　　(2)由(1)知A(1，0)，F(xiàn)(3，0)，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x＝3，此時，≠0，應(yīng)舍去． 　　當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，設(shè)直線PQ的方程為 　　y＝k(x－3)， 　　由方程組＝1y＝k(x－3)得，(k2－2)x2－6k2x＋9k2＋6＝0，由一過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，則k2－2≠0，即k≠±， 　　由于Δ＝36k4－4(k2－2)(9k2＋6)＝48(k2＋1)＞0恒成立，所以k≠±(*)． 　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 　　由直線PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)，于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]　　(3) 　　由得，(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0　　(4) 　　由(1)、(2)、(3)、(4)得＋1＋k2()＝0，整理得k2＝，k＝±滿足(*)， 　　∴直線PQ的方程為x－－3＝0或x＋－3＝0． 　　分析：對于第一問，由題意先判定所求的雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合題意確定雙曲線方程；對于第二問，涉及直線與雙曲線的交點(diǎn)問題，在考慮過程中應(yīng)當(dāng)全面地考慮，相應(yīng)的直線的可能情形，將相應(yīng)的直線方程假設(shè)出來，從而由直線和雙曲線的方程所組成的方程組消去一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)間的關(guān)系問題，再結(jié)合已知條件將問題解決．