Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+3）-log_a（3-x），a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1，指出函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得

x+3＞0 3-x＞0

，從而求定義域；
（2）可判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再證明如下；
（3）當(dāng)a＞1時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及四則運算可得f（x）為增函數(shù)，從而求最值．

解答： 解：（1）由題意知，

x+3＞0 3-x＞0

；
解得，-3＜x＜3；
故函數(shù)f（x）的定義域為（-3，3）；
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下，
函數(shù)f（x）的定義域（-3，3）關(guān)于原點對稱；
則f（-x）=log_a（-x+3）-log_a（3+x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及四則運算可得，
f（x）=log_a（x+3）-log_a（3-x）為增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
故f_max（x）=f（1）=log_a2．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，最值的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．