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已知數列｛bn｝是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=145.

（Ⅰ）求數列｛bn｝的通項bn；

（Ⅱ）設數列｛an｝的通項an=loga（1+）（其中a＞0，且a≠1），記Sn是數列｛an｝的前n項和.試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結論.

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設數列｛bn｝的公差為d，由題意得

解得    ∴bn＝3n－2

（Ⅱ）由Sn＝3n－2知

因此要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較（1＋1）（1＋）…（1＋）與的大小.

取n=1，有（1＋1）＞

取n=2，有（1＋1）（1＋）＞，

……

由此推測（1＋1）（1＋）……（1＋）＞　　   ①

若①式成立，則由對數函數性質可斷定：

當a＞1時，Sn＞logabn+1

當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1.

下面用數學歸納法證明①式.

（i）當n=1時已驗證①式成立.

（ii）假設當n=k（k≥1）時，①式成立，

即（1+1）（1+）…….

那么，當n=k+1時，

（1+1）（1+）……（1+）·［1+］＞（1+）

=（3k+2）

∵

∴（3k+2）＞

因而（1+1）

這就是說①式當n=k+1時也成立.

由（i）（ii）知，①式對任何自然數n都成立.由此證得：

當a＞1時，Sn＞logabn+1

當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1

 


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

.在等比數列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3與a5的等比中項．設bn=5-log2an．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）已知數列{bn}的前n項和為Sn，Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，求Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}滿足an+12-an2=d（其中d是常數，n∈N﹡），則稱數列{an}是“等方差數列”．已知數列{bn}是公差為m的差數列，則m=0是“數列{bn}是等方差數列”的
充要條件
充要條件
條件．（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要條件中的一個）

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}滿足
a
2
n+1
-
a
2
n
=d（其中d是常數，n∈N﹡），則稱數列{an}是“等方差數列”．已知數列{bn}是公差為m的差數列，則m=0是“數列{bn}是等方差數列”的
充要條件
充要條件
條件．（填充分不必要、必要不充分、充要條件、既不充分也不必要條件中的一個）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}是公差不為0的等差數列，a2=2，a8為a4和a16的等比中項．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=(
2
an+an+1
)2，求證b1+b2+b3+…+bn＜
n
n+1
(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：013

已知數列｛an｝是等比數列, 且bn＝an+an+1, 則｛bn｝是

[　　]

A.等比數列, 但不是等差數列　　    B.等差數列, 但不是等比數列

C.等比數列或等差數列　　　　　　  D.不是等比也不是等差數列

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