Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．

(1)求證：GH∥平面CDE；

(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱錐F—ABCD的體積．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）16

【解析】(1)證明　方法一　∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.

又EF＝AD＝BC，∴四邊形EFBC是平行四邊形，

∴H為FC的中點(diǎn)．

又∵G是FD的中點(diǎn)，∴HG∥CD.

∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

方法二　連接EA，∵ADEF是正方形，

∴G是AE的中點(diǎn)．

∴在△EAB中，GH∥AB.

又∵AB∥CD，∴GH∥CD.

∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

(2)解　∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，

且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.

∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.

又∵CD＝2，DB＝4，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.

∵S?ABCD＝CD·BD＝8，

∴VF—ABCD＝S?ABCD·FA＝×8×6＝16.