Question

對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足：.
求證：(1)是數(shù)列的母函數(shù)；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）(1) 由題知，，是數(shù)列的母函數(shù)
(2) （Ⅱ），，從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
又故當(dāng)時(shí)，有
，化簡(jiǎn)得結(jié)論

試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且

.
是數(shù)列的母函數(shù)；
(2) 由(1) 知：是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，故.
           ①
      ②
①-②得：.
.
（Ⅱ）由題知：，. .
從而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
.
又
故當(dāng)時(shí)，有：

.
點(diǎn)評(píng)：求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實(shí)質(zhì)，將其性質(zhì)代入相應(yīng)的函數(shù)式中推理；第一問(wèn)的數(shù)列求和用到了錯(cuò)位相減法，這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法，其適用于通項(xiàng)公式為關(guān)于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列