Question

如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：設(shè)A_i表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（=1，2，…，13）．根據(jù)題意，P(Ai)=

1

13

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
（I）設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B=A₅∪A₈，利用互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．
（II）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P（X=1）=P（A₃）+P（A₆）+P（A₇）+P（A₁₁），P（X=2）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃），P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2），即可得出．

解答：解：設(shè)A_i表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（=1，2，…，13）．
根據(jù)題意，P(Ai)=

1

13

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
（I）設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B=A₅∪A₈，
∴P（B）=P（A₅∪A₈）=P（A₅）+P（A₈）=

2

13

．
（II）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且
P（X=1）=P（A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁）=P（A₃）+P（A₆）+P（A₇）+P（A₁₁）=

4

13

，
P（X=2）=P（A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃）=

4

13

，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=

5

13

，
∴X的分布列為：
       
故X的期望EX=0×

5

13

+1×

4

13

+2×

4

13

=

12

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．