Question

14．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C₁上，且依次按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校�點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求點(diǎn)C的直角坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在曲線C₂：x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，求|PB|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A的直角坐標(biāo)，根據(jù)A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，求出C的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，求出|PB|²+|PC|²的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出其范圍即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是（1，1），
由A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，則C（-1，1）；
（2）易得B（0，2），C（-1，1），
曲線C₁：ρ=2sinθ的直角坐標(biāo)方程是：x²+（y-1）²=1，
設(shè)P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，
則|PB|²+|PC|²
=x²+（y-2）²+（x+1）²+（y-1）²
=2x²+2y²-6y+2x+6
=14+2（x-3y）
=14+2（2cosθ-6sinθ）
=14+4（cosθ-3sinθ）
=14+4$\sqrt{10}$cos（θ+φ），
故|PB|²+|PC|²∈[14-4$\sqrt{10}$，14+4$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)稱思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．