Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=

2

，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，連結(jié)BF，則∠BFD為所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖1，由PA⊥底面ABCD，
得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形，
而點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB．
由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，
由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，
故BC⊥AE．因?yàn)锳E⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，
又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．
在Rt△PAB中，PA=AB=

2

，AE=

1

2

PB=

1

2

PA2+AB2

=1．
從而在Rt△DAE中，DE=

AE2+AD2

=

2

．
在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=

2

，又CD=

2

，
所以△CED為等邊三角形，
取CE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF⊥CE，
∵BE=BC=1，且BC⊥BE，
則△EBC為等腰直角三角形，連結(jié)BF，則BF⊥CE，
所以∠BFD為所求的二面角的平面角，
連結(jié)BD，在△BFD中，DF=CD•sin

π

3

=

6

2

，
BF=

1

2

CE=

2

2

，BD=

BC2+CD2

=

3

，
所以cos∠BFD=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=-

3

3

，
∴二面角B-EC-D的平面角的余弦值為-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．