Question

設(shè)S_n是各項均為非零實數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和，給出如下兩個命題：命題p：{a_n}是等差數(shù)列；命題q：等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

kn+b

a1an+1

對任意的n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常數(shù)．
（1）若p是q的充分條件，求k，b的值；
（2）對于（1）中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；
（3）若p為真命題，對于給定的正整數(shù)n（n＞1）和正數(shù)M，數(shù)列{a_n}滿足條件a₁²+a_n+1²≤M，試求S_n的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合,復(fù)合命題的真假,數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，原等式可化為

1

d

•

nd

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，利用恒成立求出k=1，b=0．
（2）當(dāng)k=1，b=0時，假設(shè)p是否為q的必要條件，即“若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

①對于任意的n（n∈N^*）恒成立，則{a_n}為等差數(shù)列”．通過當(dāng)n≥2時，以及n=2時，推出{a_n}為等差數(shù)列，得到p是否為q的必要條件．
（3）利用

a

2 1

+

a

2 n+1

≤M，可設(shè)a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，其中r≤

M

．設(shè){a_n}的公差為d，則a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，求出公差，推出Sn=

(a1+an)n

2

=

(n+1)cosθ+(n-1)sinθ

2

r利用基本不等式求解S_n的最大值．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則原等式可化為

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=

kn+b

a1an+1

，所以

1

d

•

nd

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，
即（k-1）n+b=0對于n∈N^*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）當(dāng)k=1，b=0時，假設(shè)p是否為q的必要條件，即“若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

①對于任意的n（n∈N^*）恒成立，則{a_n}為等差數(shù)列”．…（6分）
當(dāng)n≥2時，

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an+1

②，由①-②得，

1

anan+1

=

1

a1

(

n

an+1

-

n-1

an

)，即na_n-（n-1）a_n+1=a₁③．
當(dāng)n=2時，a₁+a₃=2a₂，即a₁、a₂、a₃成等差數(shù)列，
當(dāng)n≥3時，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=a₁④，即2a_n=a_n-1+a_n+1．所以{a_n}為等差數(shù)列，即p是否為q的必要條件．…（10分）
（3）由

a

2 1

+

a

2 n+1

≤M，可設(shè)a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，其中r≤

M

．
設(shè){a_n}的公差為d，則a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，所以d=

rsinθ-rcosθ

n

，
所以an=an+1-d=rsinθ-

rsinθ-rcosθ

n

，Sn=

(a1+an)n

2

=

(n+1)cosθ+(n-1)sinθ

2

r≤

(n+1)2+(n-1)2

2

•

M

=

2

2

M(n2+1)

，所以S_n的最大值為

2

2

M(n2+1)

…（16分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，基本不等式的應(yīng)用，恒成立問題的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．