Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.

（1）求實數(shù)的值；

（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結論；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由求得的值.

（2）由（1）求得的解析式，利用單調(diào)性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.

（3）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負數(shù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）∵是奇函數(shù)在原點有定義：

∴，

∴；經(jīng)驗證滿足題意

（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：

設，則：

；

∵，

∴，；

∴；

∴是上的增函數(shù)；

（3）由（1）、（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；

∵，

∴；

∴；

即對任意恒成立；

只需；

解之得；

∴實數(shù)的取值范圍為.