Question

【題目】設是實數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱點為函數(shù)的“平衡點”．當時，試問函數(shù)是否存在“平衡點”？若存在，請求出“平衡點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的減區(qū)間為；當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）求導，得到，討論的范圍得到答案.

（Ⅱ）求得切線方程為，令

，計算得到當時，，故沒有平衡點。

（I）,

當時，在上恒成立；

當時，在時，，在時，，

當時，的減區(qū)間為

當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（II）設為函數(shù)圖象上一點

則函數(shù)在點處的切線方程為

即,

令－

則

當時，，當時，

即函數(shù) 在上減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

當時，

當時，,

因此，函數(shù) 在上不存在“平衡點”.