Question

17．下列關(guān)于圓錐曲線的命題：
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，若|PA|+|PB|=8，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
②設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，若|PA|=10-|PB|，且|AB|=8，則|PA|的最大值為9；
③設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，若|PA|-|PB|=6，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點(diǎn)．
其中真命題的序號是②④．

Answer 1

分析 ①，根據(jù)橢圓的定義，當(dāng)8＞|AB|時(shí)是橢圓；
②，利用橢圓的定義，求出a、c，|PA|的最大值為a+c；
③，利用雙曲線的定義判斷；
④，根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．

解答 解：對于①，根據(jù)橢圓的定義，當(dāng)k＞|AB|時(shí)是橢圓，∴故為假命題；
對于②，由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以動點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的圖象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，|PA|的最大值為a+c=5+3=9，所以為真命題．
對于③，設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，若|PA|-|PB|=6，當(dāng)6＜|AB|時(shí)，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，故為假命題；
對于④，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦點(diǎn)為（$±\sqrt{26}$，0），橢圓$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點(diǎn)（$±\sqrt{26}$，0），故為真命題．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的命題的真假判定，掌握圓錐曲線的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．