Question

7．在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，y）是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求x+y的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出C的直角坐標(biāo)方程，再求曲線C的參數(shù)方程；
（2）利用C的參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，求x+y的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．

解答 解：（1）由曲線C的方程為$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，得ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ-6，
即x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
即曲線C是以點(diǎn)為圓心（2，2），以$\sqrt{2}$為半徑的圓，
則圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）x+y=4+$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ=4+2sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
于是當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，（x+y）_max=4+2=6，
此時(shí)$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=3}\\{y=2+\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=3}\end{array}}\right.$，即M（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)知識(shí)，屬于中檔題．