Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋mx＋n的圖象過(guò)點(diǎn)(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
(1)求f(x)與g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）g(x)＝－x²＋2x（2）(－∞，0]．

(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(－1＋x)＝f(－1－x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，
所以圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱(chēng)，即－＝－1，即m＝2.
又f(1)＝1＋m＋n＝3，所以n＝0，所以f(x)＝x²＋2x.
又y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以－g(x)＝(－x)²＋2(－x)，
所以g(x)＝－x²＋2x.
(2)由(1)知，F(xiàn)(x)＝(－x²＋2x)－λ(x²＋2x)＝－(λ＋1)x²＋(2－2λ)x.
當(dāng)λ＋1≠0時(shí)，F(xiàn)(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，
因?yàn)镕(x)在(－1，1]上是增函數(shù)，
所以或
所以λ<－1或－1<λ≤0.
當(dāng)λ＋1＝0，即λ＝－1時(shí)，F(xiàn)(x)＝4x顯然成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，0]．