Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=1+$\sqrt{2x-{x^2}}$．
（Ⅰ）若a=1時(shí)，解不等式：|2x-a|+|2x+3|≤6；
（Ⅱ）若對任意x₁∈[0，2]，都存在x₂∈R，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1時(shí)，分類討論，利用絕對值的意義，解不等式：|2x-a|+|2x+3|≤6；
（Ⅱ）由題意知函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的值域的一個(gè)子集，而f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x-3|=|a+3|，1≤g（x）≤2，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，不等式可化為：|2x-1|+|2x+3|≤6
x＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，不等式化為1-2x-2x-3≤6，∴x≥-2，∴-2≤x＜-$\frac{3}{2}$；
-$\frac{3}{2}$$≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為1-2x+2x+3≤6恒成立；
x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為2x-1+2x+3≤6，∴x≤1，∴$\frac{1}{2}$＜x≤1；
綜上所述，不等式的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅱ）由題意知函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的值域的一個(gè)子集，
而f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x-3|=|a+3|，1≤g（x）≤2，
有|a+3|≤1⇒-4≤a≤-2．

點(diǎn)評 本題考查不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．