Question

如圖所示，已知，PA垂直圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=

2

，PC=2，求二面角P-BC-A的平面角大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得BC⊥PA，AC⊥BC，從而BC⊥平面PAC，由此能證明平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC，知∠ACP是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的平面角大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵PA垂直圓O所在平面，BC?直圓O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，
∴AC⊥BC，PC⊥BC，
∴∠ACP是二面角P-BC-A的平面角，
∵BC=1，AB=

2

，PC=2，AB是圓O的直徑，
∴AC=

AB2-BC2

=

2-1

=1，
∵PA垂直圓O所在平面，∴PA⊥AC，
∴cos∠ACP=

AC

PC

=

1

2

，
∴∠ACP=60°，
∴二面角P-BC-A的平面角大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的平面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．