Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點A是上頂點，點P（1，

3

2

）在橢圓上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若圓C的圓心在y軸上，且與直線AF₂及x軸均相切，求圓C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知

2a=4 1 a2 + 2 4 b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由題意得A（0，

3

），F(xiàn)₁（1，0），則直線的方程為

3

x-y-

3

=0，設圓C的方程為x²+（y-m）²=m²，則

|m- 3 |

3+1

=|m|，由此能求出圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知

2a=4 1 a2 + 2 4 b2 =1

，
解得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意得A（0，

3

），F(xiàn)₁（1，0），
則直線的方程為x+

y

3

=1，即

3

x-y-

3

=0，
設圓C的方程為x²+（y-m）²=m²，
∵圓C的圓心在y軸上，且與直線AF₂及x軸均相切
∴

|m- 3 |

3+1

=|m|，
解得m=-

3

或m=

3

3

，
∴圓C的方程為x2+(y+

3

)2=3或x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．