Question

2014年國慶長假期間，各旅游景區(qū)人數(shù)發(fā)生“井噴”現(xiàn)象，給旅游區(qū)的管理提出了嚴(yán)峻的考驗(yàn)，國慶后，某旅游區(qū)管理部門對該區(qū)景點(diǎn)進(jìn)一步改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，x∈（1，t]，當(dāng)x=10時，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值時對應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可知

51

50

×10-a×10²-ln 1=9.2，從而求出a的值，代入確定f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

（x∈（1，t]）；
（2）求導(dǎo)f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x=10時，y=9.2，
即

51

50

×10-a×10²-ln 1=9.2
，解得a=

1

100

．
∴f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln 

x

10

．（x∈（1，t]）
（2）對f（x）求導(dǎo)得
f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．
令f′（x）=0，解得x=50或x=1（舍去）．
當(dāng)x∈（1，50）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，50）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（50，+∞）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)．
∴當(dāng)t＞50時，
當(dāng)x∈（1，50）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，50）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（50，t]時，f′（x）＜0，f（x）在（50，t]上是減函數(shù)．
∴當(dāng)x=50時，y取得最大值；
當(dāng)t≤50時，當(dāng)x∈（1，t）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，t）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=t時，y取得最大值．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．