已知函數(shù)f(x)=
2a-x
+
x
(a∈N*)，設(shè)f（x）的最大值、最小值分別為m，n，若m-n＜1，則正整數(shù)a的取值個數(shù)是（　　）
分析：先將函數(shù)平方，然后利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，最后根據(jù)m-n＜1建立不等式關(guān)系，求出所求．
解答：解：∵f(x)=
2a-x
+
x
≥0
∴[f（x）]2=2a+2
(2a-x)x
≥2a，
當(dāng)x=0 或2a時f（x）取最小值n=
2a

又2
(2a-x)x
≤2a-x+x=2a，當(dāng)x=2a-x即x=a時取等號
即f（x）2≤2a+2a=4a，f（x）≤2
a
，當(dāng)x=a時取最大值m=2
a

這樣m-n=2
a
-
2a
＜1
a
＜
1
2-
2
=
2+
2
2

因此只能取a=1 或 2
共2個正整數(shù)．
故選B．
點評：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及不等式的應(yīng)用，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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