Question

下列說法，其中正確命題的序號為

 

．
①若函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，則c=2實數(shù)或6；
②對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x-1）f′（x）≥0，則必有f（0）+f（2）＞2f（1）；
③若函數(shù)f（x）=x³-3x在（a²-17，a）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍為（-1，4）；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯

分析：對于①，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到極大值點，由在x=2處有極大值求解c的值判斷；
對于②，由（x-1）f′（x）≥0得到函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，借助于函數(shù)的單調性比較f（0），f（1），f（2）的大小判斷；
對于③，求出函數(shù)f（x）=x³-3x的最大值點，即極大值點，由極大值點在（a²-17，a）內得答案；
對于④，構造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，由xf′（x）-f（x）＞0得到

f(x)

x

在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（1）=0，得到函數(shù)

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，結合奇偶性求得不等式f（x）＞0的解集．

解答： 解：對于①，展開可得f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
求導數(shù)可得f′（x）=3x²-4cx+c²=（x-c）（3x-c），
令（x-c）（3x-c）=0，可得x=c，或x=

c

3

，
當c=0時，函數(shù)無極值，不合題意，
當c＞0時，可得函數(shù)在（-∞，

c

3

）單調遞增，
在（

c

3

，c）單調遞減，在（c，+∞）單調遞增，
故函數(shù)在x=

c

3

處取到極大值，故c=6；
當c＜0時，可得函數(shù)在（-∞，c）單調遞增，
在（c，

c

3

）單調遞減，在（

c

3

，+∞）單調遞增，
故函數(shù)在x=c處取到極大值，故c=2，矛盾．
∴命題①錯誤；
對于②，（x-1）f′（x）≥0，則：
函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴f（0）＞f（1）、f（2）＞f（1），
得：f（0）+f（2）＞2f（1）．命題②正確；
對于③，∵函數(shù)f（x）在（a²-17，a）上有最大值，∴此最大值必是極大值，
對函數(shù)f（x）求導得，f′（x）=3x²-3，求得極值點為x=1或者x=-1，
∵當x＞1或者x＜-1時，f′（x）＞0，單調遞增，
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，單調遞減．
∴x=-1為極大值點，包含在（a²-17，a）之內，
∴a²-17＜-1＜a，
解得-1＜a＜4．
∴實數(shù)a的取值范圍為（-1，4）．命題③正確；
對于④，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），即

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
也就是[

f(x)

x

]′＞0，
則

f(x)

x

在（0，+∞）為增函數(shù)，且當x=1時，有

f(1)

1

=f（1）=0．
故函數(shù)

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，則此時f（x）＜0，
同理，函數(shù)

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，則此時f（x）＞0，
又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0，
當x∈（-1，0）時，f（x）＞0．
故不等式f（x）＞0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．命題④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，解答此題的關鍵是合理構造函數(shù)，是壓軸題．