Question

A．若不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．
B．如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為

 

．
C．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：

x=5cosθ-1 y=5sinθ+2

（θ為參數(shù)）和直線l：

x=4t+6 y=-3t-2

（t為參數(shù)），則直線l截圓C所得弦長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程,函數(shù)恒成立問題,直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：A．利用基本不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的解法即可得出；
B．利用圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、平行線的性質(zhì)、切割線定理即可得出；
C．由圓C：

x=5cosθ-1 y=5sinθ+2

（θ為參數(shù)）化為（x+1）²+（y-2）²=25，可得圓心C（-1，2），半徑r=5．
直線l：

x=4t+6 y=-3t-2

（t為參數(shù)），化為3x+4y-10=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d，
即可得出直線l截圓C所得弦長(zhǎng)=2

r2-d2

．

解答： 解：A．∵|x+

1

x

|≥2，不等式|2a-1|≤|x+

1

x

|對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，
∴|2a-1|≤2，化為-2≤2a-1≤2，解得-

1

2

≤a≤

3

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，

3

2

]，
故答案為：[-

1

2

，

3

2

]．
B．如圖所示，連接OC，AC．
則OC⊥l，△OBC為等邊三角形．
又AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠DAC=∠ACO=

1

2

∠BOC=30°．
而AC=2OC•cos30°=4

3

．
∴DC=2

3

，AD=2

3

×

3

=6．
∵DC²=DE•DA，
∴DE=

(2 3 )2

6

=2，
∴AE=AD-DE=4．
故答案為：4．   
C．由圓C：

x=5cosθ-1 y=5sinθ+2

（θ為參數(shù)）化為（x+1）²+（y-2）²=25，可得圓心C（-1，2），半徑r=5．
直線l：

x=4t+6 y=-3t-2

（t為參數(shù)），化為3x+4y-10=0，
∴圓心C到直線l的距離d=

|-3+8-10|

5

=1．
∴直線l截圓C所得弦長(zhǎng)=2

r2-d2

=2

25-1

=4

6

．
故答案為：4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的解法、圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、平行線的性質(zhì)、切割線定理、圓與直線的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)=2

r2-d2

，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．